3.116 \(\int \frac{\sinh ^5(e+f x)}{(a+b \sinh ^2(e+f x))^{5/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=143 \[ -\frac{a (3 a-5 b) \cosh (e+f x)}{3 b^2 f (a-b)^2 \sqrt{a+b \cosh ^2(e+f x)-b}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \cosh (e+f x)}{\sqrt{a+b \cosh ^2(e+f x)-b}}\right )}{b^{5/2} f}-\frac{a \sinh ^2(e+f x) \cosh (e+f x)}{3 b f (a-b) \left (a+b \cosh ^2(e+f x)-b\right )^{3/2}} \]

[Out]

ArcTanh[(Sqrt[b]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]]/(b^(5/2)*f) - (a*(3*a - 5*b)*Cosh[e + f*x])/(
3*(a - b)^2*b^2*f*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]) - (a*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]^2)/(3*(a - b)*b*f*(a - b +
b*Cosh[e + f*x]^2)^(3/2))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.166095, antiderivative size = 143, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 5, number of rules used = 5, integrand size = 25, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.2, Rules used = {3186, 413, 385, 217, 206} \[ -\frac{a (3 a-5 b) \cosh (e+f x)}{3 b^2 f (a-b)^2 \sqrt{a+b \cosh ^2(e+f x)-b}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \cosh (e+f x)}{\sqrt{a+b \cosh ^2(e+f x)-b}}\right )}{b^{5/2} f}-\frac{a \sinh ^2(e+f x) \cosh (e+f x)}{3 b f (a-b) \left (a+b \cosh ^2(e+f x)-b\right )^{3/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sinh[e + f*x]^5/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2),x]

[Out]

ArcTanh[(Sqrt[b]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]]/(b^(5/2)*f) - (a*(3*a - 5*b)*Cosh[e + f*x])/(
3*(a - b)^2*b^2*f*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]) - (a*Cosh[e + f*x]*Sinh[e + f*x]^2)/(3*(a - b)*b*f*(a - b +
b*Cosh[e + f*x]^2)^(3/2))

Rule 3186

Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = Free
Factors[Cos[e + f*x], x]}, -Dist[ff/f, Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b - b*ff^2*x^2)^p, x], x, Cos
[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

Rule 413

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[((a*d - c*b)*x*(a + b*x^n)^
(p + 1)*(c + d*x^n)^(q - 1))/(a*b*n*(p + 1)), x] - Dist[1/(a*b*n*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)
^(q - 2)*Simp[c*(a*d - c*b*(n*(p + 1) + 1)) + d*(a*d*(n*(q - 1) + 1) - b*c*(n*(p + q) + 1))*x^n, x], x], x] /;
FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, n, p, q
, x]

Rule 385

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> -Simp[((b*c - a*d)*x*(a + b*x^n)^(p +
1))/(a*b*n*(p + 1)), x] - Dist[(a*d - b*c*(n*(p + 1) + 1))/(a*b*n*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1), x], x] /
; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && (LtQ[p, -1] || ILtQ[1/n + p, 0])

Rule 217

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Subst[Int[1/(1 - b*x^2), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]] /; FreeQ[{a,
b}, x] &&  !GtQ[a, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\sinh ^5(e+f x)}{\left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}} \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (1-x^2\right )^2}{\left (a-b+b x^2\right )^{5/2}} \, dx,x,\cosh (e+f x)\right )}{f}\\ &=-\frac{a \cosh (e+f x) \sinh ^2(e+f x)}{3 (a-b) b f \left (a-b+b \cosh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{-a+3 b+3 (a-b) x^2}{\left (a-b+b x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\cosh (e+f x)\right )}{3 (a-b) b f}\\ &=-\frac{a (3 a-5 b) \cosh (e+f x)}{3 (a-b)^2 b^2 f \sqrt{a-b+b \cosh ^2(e+f x)}}-\frac{a \cosh (e+f x) \sinh ^2(e+f x)}{3 (a-b) b f \left (a-b+b \cosh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{a-b+b x^2}} \, dx,x,\cosh (e+f x)\right )}{b^2 f}\\ &=-\frac{a (3 a-5 b) \cosh (e+f x)}{3 (a-b)^2 b^2 f \sqrt{a-b+b \cosh ^2(e+f x)}}-\frac{a \cosh (e+f x) \sinh ^2(e+f x)}{3 (a-b) b f \left (a-b+b \cosh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-b x^2} \, dx,x,\frac{\cosh (e+f x)}{\sqrt{a-b+b \cosh ^2(e+f x)}}\right )}{b^2 f}\\ &=\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \cosh (e+f x)}{\sqrt{a-b+b \cosh ^2(e+f x)}}\right )}{b^{5/2} f}-\frac{a (3 a-5 b) \cosh (e+f x)}{3 (a-b)^2 b^2 f \sqrt{a-b+b \cosh ^2(e+f x)}}-\frac{a \cosh (e+f x) \sinh ^2(e+f x)}{3 (a-b) b f \left (a-b+b \cosh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.871048, size = 130, normalized size = 0.91 \[ \frac{\frac{\log \left (\sqrt{2 a+b \cosh (2 (e+f x))-b}+\sqrt{2} \sqrt{b} \cosh (e+f x)\right )}{b^{5/2}}-\frac{2 \sqrt{2} a \cosh (e+f x) \left (3 a^2+b (2 a-3 b) \cosh (2 (e+f x))-7 a b+3 b^2\right )}{3 b^2 (a-b)^2 (2 a+b \cosh (2 (e+f x))-b)^{3/2}}}{f} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Sinh[e + f*x]^5/(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2),x]

[Out]

((-2*Sqrt[2]*a*Cosh[e + f*x]*(3*a^2 - 7*a*b + 3*b^2 + (2*a - 3*b)*b*Cosh[2*(e + f*x)]))/(3*(a - b)^2*b^2*(2*a
- b + b*Cosh[2*(e + f*x)])^(3/2)) + Log[Sqrt[2]*Sqrt[b]*Cosh[e + f*x] + Sqrt[2*a - b + b*Cosh[2*(e + f*x)]]]/b
^(5/2))/f

________________________________________________________________________________________

Maple [A]  time = 0.16, size = 230, normalized size = 1.6 \begin{align*}{\frac{1}{f\cosh \left ( fx+e \right ) }\sqrt{ \left ( a+b \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2} \right ) \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}} \left ({\frac{1}{2}\ln \left ({ \left ({\frac{a}{2}}+{\frac{b}{2}}+b \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2} \right ){\frac{1}{\sqrt{b}}}}+\sqrt{ \left ( a+b \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2} \right ) \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}} \right ){b}^{-{\frac{5}{2}}}}+{\frac{{a}^{2} \left ( 2\,b \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}+3\,a-b \right ) \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}{3\,{b}^{2} \left ( a+b \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2} \right ) \left ({a}^{2}-2\,ab+{b}^{2} \right ) }{\frac{1}{\sqrt{ \left ( a+b \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2} \right ) \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}}}}-2\,{\frac{a \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}{{b}^{2} \left ( a-b \right ) \sqrt{ \left ( a+b \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2} \right ) \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}}} \right ){\frac{1}{\sqrt{a+b \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}}}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sinh(f*x+e)^5/(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(5/2),x)

[Out]

((a+b*sinh(f*x+e)^2)*cosh(f*x+e)^2)^(1/2)*(1/2/b^(5/2)*ln((1/2*a+1/2*b+b*sinh(f*x+e)^2)/b^(1/2)+((a+b*sinh(f*x
+e)^2)*cosh(f*x+e)^2)^(1/2))+1/3*a^2/b^2*(2*b*sinh(f*x+e)^2+3*a-b)*cosh(f*x+e)^2/((a+b*sinh(f*x+e)^2)*cosh(f*x
+e)^2)^(1/2)/(a+b*sinh(f*x+e)^2)/(a^2-2*a*b+b^2)-2*a/b^2*cosh(f*x+e)^2/(a-b)/((a+b*sinh(f*x+e)^2)*cosh(f*x+e)^
2)^(1/2))/cosh(f*x+e)/(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2)/f

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\sinh \left (f x + e\right )^{5}}{{\left (b \sinh \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sinh(f*x+e)^5/(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sinh(f*x + e)^5/(b*sinh(f*x + e)^2 + a)^(5/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 6.88764, size = 18590, normalized size = 130. \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sinh(f*x+e)^5/(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/12*(3*((a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^8 + 8*(a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^
7 + (a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*sinh(f*x + e)^8 + 4*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x + e)^6 + 4*(2
*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4 + 7*(a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^6 + 8*(7*(a^2*
b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^3 + 3*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5
+ 2*(8*a^4 - 24*a^3*b + 27*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(f*x + e)^4 + 2*(35*(a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(
f*x + e)^4 + 8*a^4 - 24*a^3*b + 27*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 3*b^4 + 30*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(
f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^4 + a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4 + 8*(7*(a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^5 + 10*(2
*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x + e)^3 + (8*a^4 - 24*a^3*b + 27*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(
f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + 4*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x + e)^2 + 4*(7*(a^2*b^2 - 2*a*b^3
+ b^4)*cosh(f*x + e)^6 + 15*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x + e)^4 + 2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*
b^3 - b^4 + 3*(8*a^4 - 24*a^3*b + 27*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^2 + 8*((a^2*b^
2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^7 + 3*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x + e)^5 + (8*a^4 - 24*a^3
*b + 27*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(f*x + e)^3 + (2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x + e))*sin
h(f*x + e))*sqrt(b)*log((a^2*b*cosh(f*x + e)^8 + 8*a^2*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^7 + a^2*b*sinh(f*x + e)^8
+ 2*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e)^6 + 2*(14*a^2*b*cosh(f*x + e)^2 + a^3 + a^2*b)*sinh(f*x + e)^6 + 4*(14*a^2*b*
cosh(f*x + e)^3 + 3*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 + (9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^4 +
(70*a^2*b*cosh(f*x + e)^4 + 9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3 + 30*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(
14*a^2*b*cosh(f*x + e)^5 + 10*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e)^3 + (9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*
x + e)^3 + b^3 + 2*(3*a*b^2 - b^3)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(14*a^2*b*cosh(f*x + e)^6 + 15*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x +
e)^4 + 3*a*b^2 - b^3 + 3*(9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^2 + sqrt(2)*(a^2*cosh(f*x +
e)^6 + 6*a^2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^5 + a^2*sinh(f*x + e)^6 + 3*a^2*cosh(f*x + e)^4 + 3*(5*a^2*cosh(f*x
+ e)^2 + a^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(5*a^2*cosh(f*x + e)^3 + 3*a^2*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + (4*a*b - b^2
)*cosh(f*x + e)^2 + (15*a^2*cosh(f*x + e)^4 + 18*a^2*cosh(f*x + e)^2 + 4*a*b - b^2)*sinh(f*x + e)^2 + b^2 + 2*
(3*a^2*cosh(f*x + e)^5 + 6*a^2*cosh(f*x + e)^3 + (4*a*b - b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*sqrt(b)*sqrt((b*c
osh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)
^2)) + 4*(2*a^2*b*cosh(f*x + e)^7 + 3*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e)^5 + (9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^
3 + (3*a*b^2 - b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))/(cosh(f*x + e)^6 + 6*cosh(f*x + e)^5*sinh(f*x + e) + 15*cosh
(f*x + e)^4*sinh(f*x + e)^2 + 20*cosh(f*x + e)^3*sinh(f*x + e)^3 + 15*cosh(f*x + e)^2*sinh(f*x + e)^4 + 6*cosh
(f*x + e)*sinh(f*x + e)^5 + sinh(f*x + e)^6)) + 3*((a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^8 + 8*(a^2*b^2 - 2*
a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^7 + (a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*sinh(f*x + e)^8 + 4*(2*a^3*b - 5*a^2*b^
2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x + e)^6 + 4*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4 + 7*(a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh
(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^6 + 8*(7*(a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^3 + 3*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b
^3 - b^4)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 + 2*(8*a^4 - 24*a^3*b + 27*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(f*x + e)^
4 + 2*(35*(a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^4 + 8*a^4 - 24*a^3*b + 27*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 3*b^4 + 30*(2
*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^4 + a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4 + 8*(7*(a^2*b^2
- 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^5 + 10*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x + e)^3 + (8*a^4 - 24*a^3
*b + 27*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + 4*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*c
osh(f*x + e)^2 + 4*(7*(a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^6 + 15*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cos
h(f*x + e)^4 + 2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4 + 3*(8*a^4 - 24*a^3*b + 27*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 3*b^4)*cosh
(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^2 + 8*((a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^7 + 3*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3
- b^4)*cosh(f*x + e)^5 + (8*a^4 - 24*a^3*b + 27*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(f*x + e)^3 + (2*a^3*b - 5*a^
2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*sqrt(b)*log(-(b*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(
f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*(a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)^2 + a - b)*sinh(f*x + e)^2 +
sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 - 1)*sqrt(b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)
^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)) + 4*(b*
cosh(f*x + e)^3 + (a - b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + b)/(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) +
sinh(f*x + e)^2)) - 8*sqrt(2)*((2*a^2*b^2 - 3*a*b^3)*cosh(f*x + e)^6 + 6*(2*a^2*b^2 - 3*a*b^3)*cosh(f*x + e)*
sinh(f*x + e)^5 + (2*a^2*b^2 - 3*a*b^3)*sinh(f*x + e)^6 + 3*(2*a^3*b - 4*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + 3*
(2*a^3*b - 4*a^2*b^2 + a*b^3 + 5*(2*a^2*b^2 - 3*a*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^4 + 2*a^2*b^2 - 3*a*b^3
+ 4*(5*(2*a^2*b^2 - 3*a*b^3)*cosh(f*x + e)^3 + 3*(2*a^3*b - 4*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3
+ 3*(2*a^3*b - 4*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(f*x + e)^2 + 3*(5*(2*a^2*b^2 - 3*a*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + 2*a^3*b - 4*a
^2*b^2 + a*b^3 + 6*(2*a^3*b - 4*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^2 + 6*((2*a^2*b^2 - 3*a*b^3)*c
osh(f*x + e)^5 + 2*(2*a^3*b - 4*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(f*x + e)^3 + (2*a^3*b - 4*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(f*x + e)
)*sinh(f*x + e))*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sin
h(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)))/((a^2*b^5 - 2*a*b^6 + b^7)*f*cosh(f*x + e)^8 + 8*(a^2*b^5 - 2*a*b^6 + b^7)*f*c
osh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^7 + (a^2*b^5 - 2*a*b^6 + b^7)*f*sinh(f*x + e)^8 + 4*(2*a^3*b^4 - 5*a^2*b^5 + 4*a*b^
6 - b^7)*f*cosh(f*x + e)^6 + 4*(7*(a^2*b^5 - 2*a*b^6 + b^7)*f*cosh(f*x + e)^2 + (2*a^3*b^4 - 5*a^2*b^5 + 4*a*b
^6 - b^7)*f)*sinh(f*x + e)^6 + 2*(8*a^4*b^3 - 24*a^3*b^4 + 27*a^2*b^5 - 14*a*b^6 + 3*b^7)*f*cosh(f*x + e)^4 +
8*(7*(a^2*b^5 - 2*a*b^6 + b^7)*f*cosh(f*x + e)^3 + 3*(2*a^3*b^4 - 5*a^2*b^5 + 4*a*b^6 - b^7)*f*cosh(f*x + e))*
sinh(f*x + e)^5 + 2*(35*(a^2*b^5 - 2*a*b^6 + b^7)*f*cosh(f*x + e)^4 + 30*(2*a^3*b^4 - 5*a^2*b^5 + 4*a*b^6 - b^
7)*f*cosh(f*x + e)^2 + (8*a^4*b^3 - 24*a^3*b^4 + 27*a^2*b^5 - 14*a*b^6 + 3*b^7)*f)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(2*a^3*
b^4 - 5*a^2*b^5 + 4*a*b^6 - b^7)*f*cosh(f*x + e)^2 + 8*(7*(a^2*b^5 - 2*a*b^6 + b^7)*f*cosh(f*x + e)^5 + 10*(2*
a^3*b^4 - 5*a^2*b^5 + 4*a*b^6 - b^7)*f*cosh(f*x + e)^3 + (8*a^4*b^3 - 24*a^3*b^4 + 27*a^2*b^5 - 14*a*b^6 + 3*b
^7)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + 4*(7*(a^2*b^5 - 2*a*b^6 + b^7)*f*cosh(f*x + e)^6 + 15*(2*a^3*b^4 - 5*a^
2*b^5 + 4*a*b^6 - b^7)*f*cosh(f*x + e)^4 + 3*(8*a^4*b^3 - 24*a^3*b^4 + 27*a^2*b^5 - 14*a*b^6 + 3*b^7)*f*cosh(f
*x + e)^2 + (2*a^3*b^4 - 5*a^2*b^5 + 4*a*b^6 - b^7)*f)*sinh(f*x + e)^2 + (a^2*b^5 - 2*a*b^6 + b^7)*f + 8*((a^2
*b^5 - 2*a*b^6 + b^7)*f*cosh(f*x + e)^7 + 3*(2*a^3*b^4 - 5*a^2*b^5 + 4*a*b^6 - b^7)*f*cosh(f*x + e)^5 + (8*a^4
*b^3 - 24*a^3*b^4 + 27*a^2*b^5 - 14*a*b^6 + 3*b^7)*f*cosh(f*x + e)^3 + (2*a^3*b^4 - 5*a^2*b^5 + 4*a*b^6 - b^7)
*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)), -1/6*(3*((a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^8 + 8*(a^2*b^2 - 2*a*b^3 +
b^4)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^7 + (a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*sinh(f*x + e)^8 + 4*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*
b^3 - b^4)*cosh(f*x + e)^6 + 4*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4 + 7*(a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e
)^2)*sinh(f*x + e)^6 + 8*(7*(a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^3 + 3*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4
)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 + 2*(8*a^4 - 24*a^3*b + 27*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(f*x + e)^4 + 2*(3
5*(a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^4 + 8*a^4 - 24*a^3*b + 27*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 3*b^4 + 30*(2*a^3*b -
5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^4 + a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4 + 8*(7*(a^2*b^2 - 2*a*b
^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^5 + 10*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x + e)^3 + (8*a^4 - 24*a^3*b + 27*
a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + 4*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x
+ e)^2 + 4*(7*(a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^6 + 15*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x +
e)^4 + 2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4 + 3*(8*a^4 - 24*a^3*b + 27*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(f*x + e
)^2)*sinh(f*x + e)^2 + 8*((a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^7 + 3*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*
cosh(f*x + e)^5 + (8*a^4 - 24*a^3*b + 27*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(f*x + e)^3 + (2*a^3*b - 5*a^2*b^2 +
4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*(a*cosh(f*x + e)^2 + 2*a*cosh(f*x + e)*si
nh(f*x + e) + a*sinh(f*x + e)^2 + b)*sqrt(-b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x
+ e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))/(a*b*cosh(f*x + e)^4 + 4*a*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*
x + e)^3 + a*b*sinh(f*x + e)^4 + (3*a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^2 + (6*a*b*cosh(f*x + e)^2 + 3*a*b - b^2)*sinh(f*
x + e)^2 + b^2 + 2*(2*a*b*cosh(f*x + e)^3 + (3*a*b - b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))) + 3*((a^2*b^2 - 2*a*b
^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^8 + 8*(a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^7 + (a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b
^4)*sinh(f*x + e)^8 + 4*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x + e)^6 + 4*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b
^3 - b^4 + 7*(a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^6 + 8*(7*(a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(
f*x + e)^3 + 3*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 + 2*(8*a^4 - 24*a^3*b + 27
*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(f*x + e)^4 + 2*(35*(a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^4 + 8*a^4 - 24*a^
3*b + 27*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 3*b^4 + 30*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^
4 + a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4 + 8*(7*(a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^5 + 10*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b
^3 - b^4)*cosh(f*x + e)^3 + (8*a^4 - 24*a^3*b + 27*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3
+ 4*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x + e)^2 + 4*(7*(a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*x + e)^6 + 1
5*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x + e)^4 + 2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4 + 3*(8*a^4 - 24*
a^3*b + 27*a^2*b^2 - 14*a*b^3 + 3*b^4)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^2 + 8*((a^2*b^2 - 2*a*b^3 + b^4)*cosh(f*
x + e)^7 + 3*(2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x + e)^5 + (8*a^4 - 24*a^3*b + 27*a^2*b^2 - 14*a*b^3
+ 3*b^4)*cosh(f*x + e)^3 + (2*a^3*b - 5*a^2*b^2 + 4*a*b^3 - b^4)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*sqrt(-b)*arcta
n(sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 - 1)*sqrt(-b)*sqrt((b*cosh(f*x +
e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))/(b*co
sh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*(2*a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*b*c
osh(f*x + e)^2 + 2*a - b)*sinh(f*x + e)^2 + 4*(b*cosh(f*x + e)^3 + (2*a - b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + b)
) + 4*sqrt(2)*((2*a^2*b^2 - 3*a*b^3)*cosh(f*x + e)^6 + 6*(2*a^2*b^2 - 3*a*b^3)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^5 +
(2*a^2*b^2 - 3*a*b^3)*sinh(f*x + e)^6 + 3*(2*a^3*b - 4*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + 3*(2*a^3*b - 4*a^2*
b^2 + a*b^3 + 5*(2*a^2*b^2 - 3*a*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^4 + 2*a^2*b^2 - 3*a*b^3 + 4*(5*(2*a^2*b^2
- 3*a*b^3)*cosh(f*x + e)^3 + 3*(2*a^3*b - 4*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + 3*(2*a^3*b - 4*
a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(f*x + e)^2 + 3*(5*(2*a^2*b^2 - 3*a*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + 2*a^3*b - 4*a^2*b^2 + a*b^3 +
6*(2*a^3*b - 4*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^2 + 6*((2*a^2*b^2 - 3*a*b^3)*cosh(f*x + e)^5 +
2*(2*a^3*b - 4*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(f*x + e)^3 + (2*a^3*b - 4*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*
sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh
(f*x + e)^2)))/((a^2*b^5 - 2*a*b^6 + b^7)*f*cosh(f*x + e)^8 + 8*(a^2*b^5 - 2*a*b^6 + b^7)*f*cosh(f*x + e)*sinh
(f*x + e)^7 + (a^2*b^5 - 2*a*b^6 + b^7)*f*sinh(f*x + e)^8 + 4*(2*a^3*b^4 - 5*a^2*b^5 + 4*a*b^6 - b^7)*f*cosh(f
*x + e)^6 + 4*(7*(a^2*b^5 - 2*a*b^6 + b^7)*f*cosh(f*x + e)^2 + (2*a^3*b^4 - 5*a^2*b^5 + 4*a*b^6 - b^7)*f)*sinh
(f*x + e)^6 + 2*(8*a^4*b^3 - 24*a^3*b^4 + 27*a^2*b^5 - 14*a*b^6 + 3*b^7)*f*cosh(f*x + e)^4 + 8*(7*(a^2*b^5 - 2
*a*b^6 + b^7)*f*cosh(f*x + e)^3 + 3*(2*a^3*b^4 - 5*a^2*b^5 + 4*a*b^6 - b^7)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 +
2*(35*(a^2*b^5 - 2*a*b^6 + b^7)*f*cosh(f*x + e)^4 + 30*(2*a^3*b^4 - 5*a^2*b^5 + 4*a*b^6 - b^7)*f*cosh(f*x + e
)^2 + (8*a^4*b^3 - 24*a^3*b^4 + 27*a^2*b^5 - 14*a*b^6 + 3*b^7)*f)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(2*a^3*b^4 - 5*a^2*b^5 +
4*a*b^6 - b^7)*f*cosh(f*x + e)^2 + 8*(7*(a^2*b^5 - 2*a*b^6 + b^7)*f*cosh(f*x + e)^5 + 10*(2*a^3*b^4 - 5*a^2*b
^5 + 4*a*b^6 - b^7)*f*cosh(f*x + e)^3 + (8*a^4*b^3 - 24*a^3*b^4 + 27*a^2*b^5 - 14*a*b^6 + 3*b^7)*f*cosh(f*x +
e))*sinh(f*x + e)^3 + 4*(7*(a^2*b^5 - 2*a*b^6 + b^7)*f*cosh(f*x + e)^6 + 15*(2*a^3*b^4 - 5*a^2*b^5 + 4*a*b^6 -
b^7)*f*cosh(f*x + e)^4 + 3*(8*a^4*b^3 - 24*a^3*b^4 + 27*a^2*b^5 - 14*a*b^6 + 3*b^7)*f*cosh(f*x + e)^2 + (2*a^
3*b^4 - 5*a^2*b^5 + 4*a*b^6 - b^7)*f)*sinh(f*x + e)^2 + (a^2*b^5 - 2*a*b^6 + b^7)*f + 8*((a^2*b^5 - 2*a*b^6 +
b^7)*f*cosh(f*x + e)^7 + 3*(2*a^3*b^4 - 5*a^2*b^5 + 4*a*b^6 - b^7)*f*cosh(f*x + e)^5 + (8*a^4*b^3 - 24*a^3*b^4
+ 27*a^2*b^5 - 14*a*b^6 + 3*b^7)*f*cosh(f*x + e)^3 + (2*a^3*b^4 - 5*a^2*b^5 + 4*a*b^6 - b^7)*f*cosh(f*x + e))
*sinh(f*x + e))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sinh(f*x+e)**5/(a+b*sinh(f*x+e)**2)**(5/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\sinh \left (f x + e\right )^{5}}{{\left (b \sinh \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sinh(f*x+e)^5/(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(5/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(sinh(f*x + e)^5/(b*sinh(f*x + e)^2 + a)^(5/2), x)